Question

19．平面內(nèi)的n（n≥3）條直線，可將平面最多分成f（n）個(gè)區(qū)域，則f（n）的表達(dá)式為（　�。�

• A． n+3
• B． 2n+1
• C． n²-3n+7
• D． $\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，平面內(nèi)n條直線，任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，將平面分成的區(qū)域最多，確定f（n）-f（n-1）=n，累加，即可求得f（n）的表達(dá)式．

解答 解：由題意，平面內(nèi)n條直線，任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，將平面分成的區(qū)域最多
設(shè)前k條直線把平面分成了f（k）部分，第k+1條直線與原有的k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分為k+1段，這k+1段將平面上原來(lái)的f（k）部分的每一部分分成了2個(gè)部分，共2（k+1）部分，相當(dāng)于增加了k+1個(gè)部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，則f（k+1）-f（k）=k+1，
令k=1，2，3，…．n得 f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把這n-1個(gè)等式累加，得 f（n）-f（1）=2+3+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$，
∴f（n）=2+$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查合情推理，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是找出第k項(xiàng)和第k+1項(xiàng)之間的關(guān)系，再利用累加法求出f（n）的關(guān)系式．