Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²+1若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出f（x）的極值點，對a進行討論，判斷f（x）的單調性和極值，得出f（x）的零點的個數(shù)及范圍即可得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3ax²+6x，
（1）若a=0，則f（x）=3x²+1≥1，∴f（x）沒有零點，不符合題意；
（2）若a≠0，令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2}{a}$．
①若a＞0，則當x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＞0，當-$\frac{2}{a}＜x＜0$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{2}{a}$，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x=0時，f（x）取得極小值1，∴f（x）在（0，+∞）上沒有零點，不符合題意；
②若a＜0，則當x＜0或x＞-$\frac{2}{a}$時，f′（x）＜0，當0＜x＜-$\frac{2}{a}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，-$\frac{2}{a}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
∴當x=0時，f（x）取得極小值1，當x=-$\frac{2}{a}$時，f（x）取得極大值，
∴f（x）在（-∞，0）上沒有零點，在（0，+∞）上有1個零點，符合題意．
∴a的取值范圍是（-∞，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)極值與函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．