Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為Pn，若3Pn=1-(

1

4

)n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*），且b₃=7，b₈=22．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）設數(shù)列c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關系進行化簡即可求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）求出{c_n}的通項公式，利用錯位相減法進行求和．

解答： 解：（1）數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差d=

b8-b3

8-3

=3，（1分）b_n=b₃+（n-3）d=3n-2（2分）
∵3Pn=1-(

1

4

)n當n=1時，得a1=P1=

1

4

，（1分）
當n≥2時，得an=Pn-Pn-1=…=(

1

4

)n（1分）
當n=1時，也滿足上式．∴a_n=（

1

4

）ⁿ，n∈N^•      （1分）
（2）由（1）知，∴c_n=（3n-2）•（

1

4

）ⁿ，n∈N^•．（1分）
∴S_n=1•（

1

4

）+4×（

1

4

）²+7×（

1

4

）³+…（3n-5）×（

1

4

）^n-1+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ，
于是

1

4

S_n=1•（

1

4

）²+4×（

1

4

）³+7×（

1

4

）⁴+…（3n-5）×（

1

4

）ⁿ+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，②（2分）
兩式①-②相減得

3

4

S_n=

1

4

+3[（

1

4

）²+（

1

4

）³+（

1

4

）⁴+…+（

1

4

）ⁿ]-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹═

1

4

+3[

1 16 (1-( 1 4 )n-1)

1- 1 4

]-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹=

1

2

-（3n+2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=

2

3

-

1

3

（3n+2）×（

1

4

）ⁿ

點評：本題以數(shù)列的遞推關系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列求和，要求熟練掌握錯位相減法法在數(shù)列求和過程中的應用．