已知函數(shù)f(x)=
mx
4x2+16
,g(x)=(
1
2
|x-m|,其中m∈R且m≠0.
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)m<-2時(shí),求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間[-2,2]上的最值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)h(x)=
f(x),x≥2
g(x),x<2
,當(dāng)m≥2時(shí),若對(duì)于任意的x1∈[2,+∞),總存在唯一的x2∈(-∞,2),使得h(x1)=h(x2)成立,試求m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專(zhuān)題:計(jì)算題,壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)f′(x)=
m(4-x2)
4(x2+4)2
=
m(2-x)(2+x)
4(x2+4)2
,由導(dǎo)數(shù)討論正負(fù)從而確定函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)m<-2,-2≤x≤2時(shí),可判斷g(x)與f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,從而F(x)=f(x)+g(x)=
mx
4x2+16
+2m(
1
2
)x
在[-2,2]上單調(diào)遞減;從而求最值;
(Ⅲ)由題意先求得當(dāng)m≥2,x1∈[2,+∞)時(shí)h(x1)∈(0,  
m
16
]
;再求得當(dāng)m≥2,x2<2時(shí),h(x2)∈(0,  (
1
2
)
m-2
)
;從而化為
m
16
-(
1
2
)m-2<0
即可,記函數(shù)H(m)=
m
16
-(
1
2
)m-2
,從而求解.
解答: 解:(Ⅰ)依題意,f′(x)=
m(4-x2)
4(x2+4)2
=
m(2-x)(2+x)
4(x2+4)2
,
①當(dāng)m>0時(shí),
解f′(x)≥0得-2≤x≤2,解f′(x)<0得x<-2或x>2;
所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增,在(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)m<0時(shí),
解f′(x)≤0得-2≤x≤2,f′(x)>0得x<-2或x>2;
所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減;在(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)當(dāng)m<-2,-2≤x≤2時(shí),
g(x)=(
1
2
)|x-m|=(
1
2
)x-m=2m•(
1
2
)x
在[-2,2]上單調(diào)遞減,
由(Ⅰ)知,f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,
所以F(x)=f(x)+g(x)=
mx
4x2+16
+2m(
1
2
)x
在[-2,2]上單調(diào)遞減;
F(x)max=F(-2)=4×2m-
m
16
=2m+2-
m
16
;
F(x)min=F(2)=2m-2+
m
16

(Ⅲ)當(dāng)m≥2,x1∈[2,+∞)時(shí),
h(x1)=f(x1)=
mx1
4
x
2
1
+16

由(Ⅰ)知h(x1)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,
從而h(x1)∈(0,f(2)],
h(x1)∈(0,  
m
16
]

 當(dāng)m≥2,x2<2時(shí),
h(x2)=g(x2)=(
1
2
)|x2-m|=(
1
2
)m-x2=(
1
2
)m2x2
在(-∞,2)上單調(diào)遞增,
從而h(x2)∈(0,g(2)),即h(x2)∈(0,  (
1
2
)
m-2
)
;
對(duì)于任意的x1∈[2,+∞),總存在唯一的x2∈(-∞,2),使得h(x1)=h(x2)成立,
只需
m
16
<(
1
2
)m-2
,即
m
16
-(
1
2
)m-2<0
成立即可.
記函數(shù)H(m)=
m
16
-(
1
2
)m-2
,
易知H(m)=
m
16
-(
1
2
)m-2
在[2,+∞)上單調(diào)遞增,且H(4)=0;
所以m的取值范圍為[2,4).
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題,同時(shí)考查了函數(shù)的四則運(yùn)算等,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

“?x∈R,ex-2>m”是“l(fā)og2m2>1”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn,若滿足S3=0,S5=-1,
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
1
a2n-1×a2n+1
}的前n項(xiàng)和Sn

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設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an=
1
2n
(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Pn,若3Pn=1-(
1
4
)n
(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足2bn+1=bn+bn+2(n∈N*),且b3=7,b8=22.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式an和bn;
(2)設(shè)數(shù)列cn=anbn,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P(2,y)在拋物線y2=4x上,則P點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為(  )
A、2
B、3
C、
3
D、
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在(x-
2
2006 的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x=
2
時(shí),S等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m∈R,向量
a
=(m,1),
b
=(2,-6),且
a
b
,則|
a
-
b
|=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面
a
=(2,1),且
a
b
,則|
a
|=|
b
|,則
b
的坐標(biāo)為( 。
A、(-1,-2)
B、( 1,-2)
C、(-1,2)
D、(1,-2)或(-1,2)

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