Question

2．已知關于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，則實數a的最小值為2．

Answer 1

分析 關于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：關于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，
令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，
則f′（x）=2-$\frac{2}{（x-a）^{3}}$=$\frac{2（x-a-1）[（x-a）^{2}+（x-a）+1]}{（x-a）^{3}}$，
當且僅當x=a+1時，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2．
∴實數a的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．