Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=3x³-x+a（a＞0），若f（x）恰有兩個零點，則a的值為$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）=3x³-x+a恰有2個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，由此求得a值．

解答 解：∵f（x）=3x³-x+a，∴f′（x）=9x²-1，
由f'（x）＞0，得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{3}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0，得-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
即當x=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，當x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極小值．
要使函數(shù)f（x）=3x³-x+a恰有兩個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
由極大值f（-$\frac{1}{3}$）=$3×（-\frac{1}{3}）^{3}+\frac{1}{3}+a$=0，解得a=-$\frac{2}{9}$；
再由極小值f（$\frac{1}{3}$）=$3×（\frac{1}{3}）^{3}-\frac{1}{3}+a=0$，解得a=$\frac{2}{9}$．
∵a＞0，∴a=$\frac{2}{9}$．
故答案為：$\frac{2}{9}$．

點評 本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．