Question

11．已知函數(shù)f（x）=a（lnx-1）-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0對任意x＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，a≤0時，恒成立；a＞0時，f（a）=a（lna-1）-a≤0，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=a（lnx-1）-x，
∴f′（x）=$\frac{a-x}{x}$，
a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間是（0，+∞）；
a＞0時，0＜x＜a，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞a，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴遞增區(qū)間是（0，a）；遞減區(qū)間是（a，+∞）；
（2）由（1）可知，a≤0時，恒成立；
a＞0時，f（a）=a（lna-1）-a≤0，∴a＜e，∴0＜a＜e，
綜上所述，a＜e．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．