Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1（a∈R），求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+1，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
a＞0時，$\frac{2}{a}$＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，+∞）遞增；
a=0時，f′（x）=-6x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
a＜0時，$\frac{2}{a}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{2}{a}$或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{2}{a}$）遞增，在（$\frac{2}{a}$，0）遞減，在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．