【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，公比大于1的等比數(shù)列滿足， .

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析， ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的遞推公式可證得數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；

(2)錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為；

(3)由題意可得數(shù)列單調(diào)遞減，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式，求解不等式可得實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

試題解析：

(1) 當(dāng)時(shí)，，，

，所以，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列，

，，

則是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

(2)由題意得， ；

則前n項(xiàng)和；

；

相減可得

；

化簡可得前n項(xiàng)和；

（3）對一切正整數(shù)n恒成立，

由，

可得數(shù)列單調(diào)遞減,即有最大值為，

則 解得或 .

即實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， （）為橢圓上一點(diǎn)，求面積的最大值．

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【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， .

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費(fèi)，超過400度的部分按1.0元/度收費(fèi).

（1）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的點(diǎn)80%，求的值；

（3）在滿足（2）的條件下，估計(jì)1月份該市居民用戶平均用電費(fèi)用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 ， 是坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為其左右焦點(diǎn)， , 是橢圓上一點(diǎn)， 的最大值為

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且

（i）求證： 為定值;

（ii）求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　 　)

A. (1，＋∞) B. (1,2] C. (1，] D. (1,3]

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【題目】已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求：
（1）x2+y2的最小值；
（2） + + 的最小值．

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【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an ， 前n項(xiàng)和為sn ， 且an是sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}中，b1=1，點(diǎn)P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上． （Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式an ， bn
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Bn ， 試比較 與2的大小．
（Ⅲ）設(shè)Tn= ，若對一切正整數(shù)n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差為 的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2﹣a1a5=（ ）
A.0
B.
C.
D.

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