Question

5．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面體ABCD體積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則這個(gè)球的表面積為（　　）

• A． $\frac{500π}{81}$
• B． 4π
• C． $\frac{25π}{9}$
• D． $\frac{100π}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，可得DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意知，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，
且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圓半徑2r=2，即r=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴DQ=3，
設(shè)球的半徑為R，則
在直角△AQO中，OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（3-R）²，∴R=$\frac{5}{3}$，
∴球的表面積為$4π•\frac{25}{9}$=$\frac{100π}{9}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．