Question

15．近期受臺(tái)風(fēng)影響給某城市經(jīng)濟(jì)造成極大損失，為挽回經(jīng)濟(jì)損失，某廠家擬舉辦大型促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算，當(dāng)某產(chǎn)品的促銷費(fèi)用為x萬元時(shí)，其銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a²-3a+3，a＞0），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需要投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費(fèi)用）產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+$\frac{20}{t}$）萬元/萬件．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示成促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大．

Answer 1

分析 （1）確定該產(chǎn)品售價(jià)為2×（$\frac{10+2t}{t}$）萬元，y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）×t-10-2t-x，銷售量t萬件滿足$t=5-\frac{2}{x+1}$代入化簡得該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求廠家的利潤最大．

解答 解：（1）由題知利潤$y=t（4+\frac{20}{t}）-（10+2t）-x$，
將$t=5-\frac{2}{x+1}$帶入化簡得：$y=20-x-\frac{4}{x+1}$（0≤x≤a²-3a+3，a＞0）
（2）當(dāng)0＜a≤1，a≥2⇒a²-3a+3≥1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}=20-（x+1+\frac{4}{x+1}-1）≤20-2\sqrt{（x+1）×\frac{4}{x+1}}+1=17$
當(dāng)1＜a＜2⇒a²-3a+3＜1，$y=20-x-\frac{4}{x+1}≤17-{a^2}+3a-\frac{4}{{{a^2}-3a+4}}$．
綜上述，當(dāng)a≥2或0＜a≤1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，促銷費(fèi)用投入x=a²-3a+3萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．