Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x取值范圍是$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．

Answer 1

分析 由解析式求出函數(shù)f（x）的定義域，化簡f（-x）由函數(shù)奇偶性定義，判斷出f（x）的奇偶性，判斷出f（x）的單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，即可求出答案．

解答 解：由題意得，函數(shù)f（x）定義域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|-x|）+$\frac{1}{{（-x）}^{2}+1}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）＞f（2x-1）
∴|x|＜|2x-1|，解得$x＜\frac{1}{3}或x＞1$，
∴不等式的解集是$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$，
故答案為：$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用，以及轉(zhuǎn)化思想，考查化簡、變形能力．