15．正四面體ABCD中，AB與平面ACD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

分析 過B作BO⊥平面ACD，則∠BAO為要求的線面角，O為正三角形ACD的中心，設(shè)AB=2，根據(jù)正四面體的性質(zhì)求出AO即可得出cos∠BAO．

解答 解：過B作平面ACD的垂線BO，垂足為O，延長AO交CD于M．
則∠BAO為AB與平面ACD所成的角．
∵三棱錐B-ACD為正四面體，
∴O為△ACD的中心，M為CD的中點(diǎn)．
設(shè)正四面體的邊長為2，則AM=$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{2}{3}AM$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．∴cos∠BAO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{e^x}}}{x^2}$（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$-lnx，若g（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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6．過正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為75°，這樣的截面共可作出18個(gè)．

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3．三棱錐P-ABC，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．

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10．已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（1）求證：BN丄平面C1B1N；
（2）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上找一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB1，并求$\frac{BP}{PC}$的值．
（3）求點(diǎn)A到平面CB1N的距離．

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20．一個(gè)四面體，其中一個(gè)頂點(diǎn)A的三個(gè)角分別為60°，θ，90°，其中tanθ=2，則θ角與60°角所在面的二面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

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7．（1）已知x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求證：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥5+2$\sqrt{6}$；
（2）已知a，b，c均為正數(shù)，求證：$\frac{a}{bc}$+$\frac{ca}$+$\frac{c}{ab}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

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4．為了響應(yīng)政府“節(jié)能、降耗、減排、增效”的號(hào)召，某工廠決定轉(zhuǎn)產(chǎn)節(jié)能燈，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)節(jié)能燈的生產(chǎn)線．在這兩種生產(chǎn)線的大量產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，經(jīng)檢測(cè)，綜合得分情況如圖的頻率分布直方圖：

產(chǎn)品級(jí)別劃分以及利潤率如表，其中$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{6}$；將頻率視為概率．
綜合得分k的范圍產(chǎn)品級(jí)別產(chǎn)品利潤率
k≥85一級(jí)a
75≤k＜85二級(jí)5a2
70≤k＜75三級(jí)a2
（Ⅰ）在A型節(jié)能燈中按產(chǎn)品級(jí)別用分層抽樣的方法抽取10個(gè)，在這10個(gè)節(jié)能燈中隨機(jī)抽取3個(gè)，至少有2個(gè)一級(jí)品的概率是多少？
（Ⅱ）從長期來看，投資哪種型號(hào)的節(jié)能燈的平均利潤率較大？

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5．已知兩個(gè)單位向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為60°，$\overrightarrow c$=t$\overrightarrow a$+（1-t）$\overrightarrow b$，若$\overrightarrow b$⊥$\overrightarrow c$，則實(shí)數(shù)t的值為2．

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