Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對(duì)任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，則數(shù)列{$\frac{1}{a_n}}$}的 前100項(xiàng)的和為（　�。�

• A． $\frac{101}{100}$
• B． $\frac{200}{101}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{101}{200}$

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+n+1⇒a_n+1-a_n=n+1，又a₁=1，可求得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，利用裂項(xiàng)法可求得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加可求得數(shù)列{$\frac{1}{a_n}}$}的 前100項(xiàng)的和．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，又a₁=1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{a_n}}$}的 前100項(xiàng)的和為：2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）]=2（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{200}{101}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，由a_n+1-a_n=n+1，a₁=1，求得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$是關(guān)鍵，考查裂項(xiàng)法與累加法求和的應(yīng)用，屬于中檔題．