Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求f（-1）的值；
（2）記函數(shù)f（x）的值域A，不等式（x-a）（x-a-2）≤0的解集為B，若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)得出f（-1）=f（1）；
（2）利用f（x）的對(duì)稱性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域A，解出B，根據(jù)A⊆B得出A，B端點(diǎn)的大小關(guān)系，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
∴f（-1）=f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）∵f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，且（$\frac{1}{2}$）⁰=1，（$\frac{1}{2}$）^x＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上的值域?yàn)椋?，1]，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）的值域?yàn)椋?，1]，即A=（0，1]．
解不等式（x-a）（x-a-2）≤0得a≤x≤a+2，即B=[a，a+2]．
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥1}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，集合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．