Question

8．設(shè)向量$\overrightarrow{AB}=（{1，2cosθ}），\overrightarrow{BC}=（{m，-4}），θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．若對任意$m∈[{-1，0}]，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}≤10$恒成立，則$sin（{θ-\frac{π}{2}}）$的取值范圍為$[{-1，-\frac{3}{4}}]$．

Answer 1

分析 由于$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}={m^2}+m+16-8cosθ≤10$，即m²+m+6≤8cosθ對任意m∈[-1，0]恒成立．當(dāng)m∈[-1，0]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得（m²+m+6）_max，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（{m+1，-4+2cosθ}）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}={m^2}+m+16-8cosθ≤10$，
即m²+m+6≤8cosθ對任意m∈[-1，0]恒成立．
當(dāng)m∈[-1，0]，（m²+m+6）_max=6，
∴8cosθ≥6，∴$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，∴cosθ∈（0，1]，
∴$cosθ∈[{\frac{3}{4}，1}]$，∴$sin（{θ-\frac{π}{2}}）=-cosθ∈[{-1，-\frac{3}{4}}]$．
故答案為：$[{-1，-\frac{3}{4}}]$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．