Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圓半徑為1，$a=\sqrt{3}$，若邊BC上一點D滿足BD=2DC，且∠BAD=90°，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠2=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠1=$\frac{2}{\sqrt{3}}$$\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{3}}$=c，可求sinB=$\frac{1}{2}$，c=1，即可利用三角形面積公式計算得解．

解答 解：∵△ABC的外接圓半徑R為1，$a=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=2R$，
可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵邊BC上一點D滿足BD=2DC，
且∠BAD=90°，
∴A=120°，∠CAD=30°，
BD=$\frac{2}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{1}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴如圖，由正弦定理可得：$\frac{sin2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}$，可得：b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠2=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠1=$\frac{2}{\sqrt{3}}$$\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{3}}$=c，
∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，可得：c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．