3.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,向量$\overrightarrow{m}$=(2b,1),$\overrightarrow{n}$=(2a-c,cosC),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$.
(1)若b2=ac,試判斷△ABC的形狀;
(2)求y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$的值域.

分析 (1)由已知,利用平面向量的數(shù)量積運算法則可得2bcosC=2a-c,結(jié)合余弦定理可得a2-ac=b2-c2,由余弦定理可得B=$\frac{π}{3}$.又b2=ac,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sin(2A-$\frac{π}{6}$)=1,結(jié)合范圍A∈(0,$\frac{2π}{3}$),可求2A-$\frac{π}{6}$的范圍,解得A=C=B=$\frac{π}{3}$,即可得解.
(2)由(1)可得B=$\frac{π}{3}$,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得y=$\sqrt{2}$sin(2A-$\frac{π}{4}$),(cosA≠0),由范圍A∈(0,$\frac{2π}{3}$),可求2A-$\frac{π}{4}$的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin(2A-$\frac{π}{4}$)∈(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1),即可解得函數(shù)的值域.

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{m}$=(2b,1),$\overrightarrow{n}$=(2a-c,cosC),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$.
∴2bcosC=2a-c,
由余弦定理可得:cosC=$\frac{2a-c}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,
整理可得:a2-ac=b2-c2,
∴由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}}{2^{2}}$=$\frac{1}{2}$,可得B=$\frac{π}{3}$.
又∵b2=ac,
∴可得:sin2B=$\frac{3}{4}$=sinAsinC=sinAsin($\frac{2π}{3}$-A)=sinA($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin(2A-$\frac{π}{6}$),可得:sin(2A-$\frac{π}{6}$)=1,
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$),解得:2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,可得:A=$\frac{π}{3}$,C=π-A-B=$\frac{π}{3}$,
∴△ABC為等邊三角形.
(2)∵由(1)可得:B=$\frac{π}{3}$.
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=1-$\frac{2(cosA+sinA)(cosA-sinA)}{\frac{cosA+sinA}{cosA}}$=1-2(cosA-sinA)cosA=1-2cos2A+2sinAcosA=$\sqrt{2}$sin(2A-$\frac{π}{4}$),(cosA≠0),
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A-$\frac{π}{4}$∈(-$\frac{π}{4}$,$\frac{13π}{12}$),
∴sin(2A-$\frac{π}{4}$)∈(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1),
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=$\sqrt{2}$sin(2A-$\frac{π}{4}$)∈(-1,$\sqrt{2}$).

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,平面向量的數(shù)量積運算,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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