Question

18．在平行四邊形ABCD中O是對角線交點，E是OD中點，連接AE交CD于F，若$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AF}$=$-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，而由A，E，F(xiàn)共線便可設(shè)$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{k}{4}\overrightarrow{AC}$，而由D，F(xiàn)，C三點共線便可得出$\frac{k}{2}+\frac{k}{4}=1$，從而求得$k=\frac{4}{3}$，這樣便可得到$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}$．而容易用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AO}$，從而便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AF}$．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AD}=-（\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}）=-（\overrightarrow+\overrightarrow{a}）$，$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{a}$；
∵E是OD中點，O是AC中點；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AO}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$；
∵A，E，F(xiàn)三點共線，設(shè)$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}$=$\frac{k}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{k}{4}\overrightarrow{AC}$；
又D，F(xiàn)，C三點共線；
∴$\frac{k}{2}+\frac{k}{4}=1$；
∴$k=\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{4}{3}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AO}）$=$\frac{2}{3}（-\overrightarrow-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}）=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow$；
即$\overrightarrow{AF}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow$．
故答案為：$-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，A，B，C三點共線的充要條件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，以及向量加法的幾何意義．