Question

13．某公司每月最多生產(chǎn)100臺警報系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺（x∈N^*）的總收入為30x-0.2x²（單位：萬元）．每月投入的固定成本（包括機械檢修、工人工資等）為40萬元，此外，每生產(chǎn)一臺還需材料成本5萬元．在經(jīng)濟學中，常常利用每月利潤函數(shù)P（x）的邊際利潤函數(shù)MP（x）來研究何時獲得最大利潤，其中MP（x）=P（x+1）-P（x）．
（Ⅰ）求利潤函數(shù)P（x）及其邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（Ⅱ）利用邊際利潤函數(shù)MP（x）研究，該公司每月生產(chǎn)多少臺警報系統(tǒng)裝置，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用利潤是收入與成本之差，求利潤函數(shù)P（x），利用MP（x）=P（x+1）-P（x），求其邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（Ⅱ）利用MP（x）=24.8-0.4x是減函數(shù)，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，x∈[1，100]，且x∈N^*
P（x）=R（x）-C（x）
=30x-0.2x²-（5x+40）
=-0.2x²+25x-40，
MP（x）=P（x+1）-P（x）
=-0.2（x+1）²+25（x+1）-40-[-0.2x²+25x-40]
=24.8-0.4x，
（Ⅱ）∵MP（x）=24.8-0.4x是減函數(shù)，
∴當x=1時，MP（x）的最大值為24.40（萬元）

點評 本題考查了函數(shù)的實際應用，考查二次函數(shù)模型，解題策略：構造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解是關鍵，然后利用配方法、數(shù)形結合法等方法求解二次函數(shù)最值，但要注意自變量的實際取值范圍．