Question

3．在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸的非負半軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，已知A，B的縱坐標分別為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
（1）求α-β；
（2）求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義和平方關(guān)系，求出α、β的正弦和余弦值，由α、β的范圍求出α-β的范圍，由兩角差的正弦公式求出sin（α-β），在求出α-β的值；
（2）由（2α-β）=（α-β）+α和兩角和的余弦公式，求出cos（2α-β）的值．

解答 解：（1）由題意得，$sinα=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$sinβ=\frac{3\sqrt{10}}{10}$…2
∵sin²α+cos²α=1，∴cos²α=1-sin²α=$\frac{20}{25}$，
又α是銳角，則cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…3
同理可求，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；…4
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$0＜β＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，…5
且sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$…7
∴α-β=-$\frac{π}{4}$；…8
（2）由（1）得cos（α-β）=cos（$-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…9
∴cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]
=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．…12

點評 本題考查了三角函數(shù)的定義和平方關(guān)系，兩角差的正弦公式，以及兩角和的余弦公式，注意角的范圍，考查角之間的關(guān)系，以及化簡、計算能力．