Question

20．已知f（x）=|x-1|+|x-3|+a（x²-2x），其中a≥0．
（1）若a=0，求f（x）的最小值；
（2）若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值三角不等式，即可求f（x）的最小值；
（2）求出f（x）的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)f（x）取得最小值2．（4分）
（2）設(shè)g（x）=|x-1|+|x-3|，h（x）=a（x²-2x），
則h（x）=a（x-1）²-a，即當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最小值-a，
由（1）知當(dāng)1≤x≤3時(shí)，g（x）取最小值2，
所以f（x）=|x-1|+|x-3|+a（x²-2x）≥2-a（當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
所以1≥2-a，解得a≥1．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值三角不等式，考查存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．