Question

直線l：y=

k

（x-2）與曲線E：y²=16x  交于不同的兩點M、N，當(dāng)

AM

•

AN

≥68時，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得：kx²-（4k+16）x+4k=0，根據(jù)方程有兩個不等的根，結(jié)合韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得k的范圍，進而可求θ的范圍．

解答： 解：由

y= k (x-2) y2=16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0
由

△=(4k+16)2-16k2＞0 k＞0

，
解得：k＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

4k+16

k

，x₁x₂=4，
∴

AM

•

AN

=（x₁+4，y₁）•（x₂+4，y₂）=（x₁+4）（x₂+4）+y₁y₂
=（k+1）x₁x₂+（4-2k）（x₁+x₂）+16+4k=

64

k

+4≥68，
∴0＜k≤1，即有0＜tanθ≤1，
由于0≤θ＜π
∴θ∈（0，

π

4

]．

點評：本題考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．