Question

14．如圖：在一座山上要打一個(gè)涵洞，在山周圍取四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使AB⊥BC，又測(cè)得∠DAB=120°，DA=3km，DC=7km，BC=3$\sqrt{3}$km，求：涵洞DB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 △ABD中，由正弦定理求得 sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$．△BCD中，由余弦定理求得sinα=$\frac{{x}^{2}+27-49}{2x•3\sqrt{3}}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，由$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，求得涵洞BD=x的長(zhǎng)．

解答 解：∵∠DAB=120°，DA=3km，DC=7km，BC=3$\sqrt{3}$km，設(shè)BD=xkm，∠ABD=α，
△ABD中，由正弦定理得$\frac{3}{sinα}$=$\frac{x}{sin120°}$，∴sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$．
△BCD中，由余弦定理得cos∠DBC=cos（$\frac{π}{2}$-α）=sinα=$\frac{{x}^{2}+27-49}{2x•3\sqrt{3}}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，
 由$\frac{3\sqrt{3}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}-22}{6\sqrt{3}x}$，求得x=7km，故涵洞BD的長(zhǎng)為7km．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，正弦定理和余弦定理，屬于中檔題．