Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos（x-$\frac{π}{6}$），-1），$\overrightarrow$=（sin（x+$\frac{π}{6}$），$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）求f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$cos2x，且g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，0＜α＜π，求g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算以及兩角和差的正弦公式余弦公及二倍角公式，化簡即可，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出單調(diào)增區(qū)間；
（2）先化簡g（x），根據(jù)g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，求出α+$\frac{π}{3}$的范圍，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出cos（α+$\frac{π}{3}$），最后代值計算即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=2sinxcosx=sin2x，
∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z；
（2）由（1）知f（x）=sin2x，
∴g（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵0＜α＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∵g（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，
∴0＜sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）=2sin（$\frac{π}{2}$+α+$\frac{π}{3}$）=2cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算以及兩角和差的正弦公式余弦公式，以及二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．