Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3x．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，從而求出極大值與端點(diǎn)時的函數(shù)值，從而得到最大值；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)，由斜率的兩種表示得到等式，化簡得三次函數(shù)，將題目條件化為函數(shù)有三個零點(diǎn)，得解．

解答： 解：（Ⅰ）令f′（x）=6x²-3=0解得，x=±

2

2

，
則f（x）在x=-

2

2

時取得極大值，
∵f（-

2

2

）=

2

，f（1）=2-3=-1，
則f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為

2

．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x，2x³-3x），
則

2x3-3x-t

x-1

=6x²-3，
化簡得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
則令g′（x）=12x（x-1）=0，
則x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，
則（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了斜率的表示方法，用到函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，屬于難題．