18.定義在R上的函數(shù)f(x)對任意x1,x2(x1≠x2)都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<0,且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于原點對稱,若s,t滿足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2+2),則當1≤s≤4時,$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范圍是( 。
A.[-3,-$\frac{1}{2}$)B.[-3,-$\frac{1}{2}$]C.[-5,-$\frac{1}{2}$)D.[-5,-$\frac{1}{2}$]

分析 根據(jù)已知條件可知f(x)在R上單調(diào)遞減,又因為y=f(x+1)的圖象關于原點對稱,故y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,即f(1-x)=-f(1+x),再根據(jù)此式,可得-f(2t-t2+2)=f(t2-2t),
然后由單調(diào)性可知s2-2s≥t2-2t,并將其整理為(s-t)(s+t-2)≥0,畫出$\left\{\begin{array}{l}{(s-t)(s+t-2)≥0}\\{1≤s≤t}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域,設$\frac{t-2s}{s+t}=z$,整理得$t=\frac{z+2}{1-z}s$,該直線恒過原點,通過圖象得到直線的斜率$\frac{z+2}{1-z}$的取值范圍,即可算出z的取值范圍.

解答 解:∵定義在R上的函數(shù)f(x)對任意x1,x2(x1≠x2)都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<0,
∴f(x)在R上單調(diào)遞減,
∵y=f(x+1)的圖象關于原點對稱,
∴y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,
∴f(1-x)=-f(1+x),
∴-f(2t-t2+2)=-f[1+(2t-t2+1)]=f[1-(2t-t2+1)]=f(t2-2t),
∵f(s2-2s)≤-f(2t-t2+2),
∴f(s2-2s)≤f(t2-2t),
∵f(x)在R上單調(diào)遞減,
∴s2-2s≥t2-2t
∴(s-t)(s+t-2)≥0
∴$\left\{\begin{array}{l}{s-t≥0}\\{s+t-2≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{s-t≤0}\\{s+t-2≤0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$
以s為橫坐標,t為縱坐標建立平面直角坐標系,畫出不等式組所表示的平面區(qū)域

圖中A(1,1),B(4,-2),C(4,4)
設$\frac{t-2s}{s+t}=z$,整理,得t=$\frac{z+2}{1-z}s$
直線t=$\frac{z+2}{1-z}s$恒經(jīng)過原點O(0,0)
由圖象可知${k}_{OB}≤\frac{z+2}{1-z}≤{k}_{OC}$,即$-\frac{1}{2}≤\frac{z+2}{1-z}≤1$
解得-5≤z≤$\frac{1}{2}$,即$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范圍為$[-5,\frac{1}{2}]$
故選D

點評 本題考查了減函數(shù)的判定方法,圖象的平移及對稱,二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的應用,本題解決的關鍵是設$\frac{t-2s}{s+t}=z$,再整理成$t=\frac{z+2}{1-z}s$形式,從而看出其表示經(jīng)過原點的一條直線,屬于中檔題.

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