Question

5．設a=$\int_0^π$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，則（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）⁶•（x²+2）的展開式中常數項是（　�。�

• A． 332
• B． -332
• C． 320
• D． -320

Answer 1

分析 根據微積分基本定理求得a的值，求出二項式展開式的通項公式，分類討論，當k=3時，當k=5時，即可求得展開式中的常數項的值．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ-（-cos0）=1+1=2，
（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）⁶•（x²+2）=（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）⁶•（x²+2），
其中（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）⁶的通項公式C₆^k2^6-k（-1）^kx^3-k，
當3-k=0，即k=3時，為常數項，為C₆³2³（-1）³=-160，
當3-k=-2時，即k=5時，為C₆⁵2^6-5（-1）⁵x^3-5=-12x^-2，
故（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）⁶•（x²+2）的展開式中常數項是-160×2-12=-332，
故選：B．

點評 本題主要考查微積分基本定理，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．