Question

13．在一次對(duì)由42名學(xué)生參加的課外籃球、排球興趣小組（每人參加且只參加一個(gè)興趣小組）情況調(diào)查中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）

	籃球	排球	總計(jì)
男同學(xué)	16	6	22
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	24	18	42

（1）據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為參加“籃球小組”或“排球小組”與性別有關(guān)？
（2）在統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，按性別用分層抽樣的方法抽取7名同學(xué)進(jìn)行座談，甲、乙兩名女同學(xué)中被抽中的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
下面是臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表格數(shù)據(jù)可得K²的觀測(cè)值，k≈4.582，可得4.582＞3.841，根據(jù)“獨(dú)立性檢驗(yàn)原理”即可得出結(jié)論．
（2）由題意可知：被抽出的7名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，有3名女同學(xué)，X的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布列計(jì)算公式即可得出分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得K²的觀測(cè)值，k=$\frac{42×（16×12-6×8）^{2}}{24×18×22×20}$≈4.582，∵4.582＞3.841，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為參加“籃球小組”或“排球小組”與性別有關(guān)．
（2）由題意可知：被抽出的7名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，有3名女同學(xué)，X的可能取值為0，1，2．P（X=0）=$\frac{{∁}_{16}^{3}}{{∁}_{18}^{3}}$=$\frac{35}{51}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{16}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{18}^{3}}$=$\frac{5}{17}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{16}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{51}$．
其分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{35}{51}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{1}{51}$

由表格可得：E（X）=$0×\frac{35}{51}$+$1×\frac{5}{17}$+2×$\frac{1}{51}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)原理、超幾何分布列計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．