Question

10．己知集合A={x|x²+（2+a）x+1=0}．
（1）設(shè)集合B={x|x²-x-2=0}，若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）設(shè)集合c={x|x＞0}，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得A∩C=∅？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)B={x|x²-x-2=0}，若A∩B=A，則A⊆B，分類討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)集合A為空集時(shí)，滿足A∩B=∅，求出此時(shí)a的范圍；當(dāng)集合A為空集時(shí)，集合A中的方程的解為非正數(shù)，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
若A∩B=A，則A⊆B，
∴A=∅，即△=（2+a）²-4＜0，
此時(shí)a的范圍為-4＜a＜0；
若A={-1}，$\left\{\begin{array}{l}{-1-1=-2-a}\\{（-1）×（-1）=1}\end{array}\right.$，∴a=0；
若A={2}，$\left\{\begin{array}{l}{2+2=-2-a}\\{2×2=1}\end{array}\right.$，不成立；
A={-1，2}，則$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-2-a}\\{（-1）×2=1}\end{array}\right.$，不成立；
綜上，a的范圍為-4＜a≤0；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)A=∅，
即x²+（2+a）x+1=0無(wú)解時(shí)，△=（2+a）²-4＜0，
此時(shí)a的范圍為-4＜a＜0；
當(dāng)A≠∅，即x²+（2+a）x+1=0解為非正數(shù)時(shí)，
∵x≠0，∴方程x²+（2+a）x+1=0變形得2+a=-x-$\frac{1}{x}$≥2，
∴a≥0
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是a＞-4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交、并集及其運(yùn)算，熟練掌握交、并集的定義是解本題的關(guān)鍵．