Question

15．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知2a₂=a₁+a₃，數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，b_n+1=$\frac{n+1}{2n}{b_n}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式及前n項和；
（2）若不等式$\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-{T_n}）}}{n+2}$≤λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+（n-1）$，結(jié)合已知，列方程 求得a₁和d，進而求得S_n，再利用a_n和S_n的關(guān)系求得a_n，$\frac{{{b_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}•\frac{b_n}{n}$，${b_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$，利用“錯位相減法”，即可求得${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$；
（2）式$\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-{T_n}）}}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}+2}{{2}^{n}}$，令$f（n+1）-f（n）=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}=-\frac{（n-2）（n+1）}{{{2^{n+1}}}}$，根據(jù)函數(shù)的函數(shù)的零點定理得函數(shù)的最大值，$f{（n）_{max}}=f（2）=f（3）=\frac{3}{2}$，求得$λ≥\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是公差為1的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+（n-1）$，
∵2a₂=a₁+a₃，
3a₂=a₁+a₂+a₃=S₃，
3（S₂-S₁）=S₃，
$3[{{{（{\sqrt{a_1}+1}）}^2}-{{（{\sqrt{a{\;}_1}}）}^2}}]={（{\sqrt{a_1}+2}）^2}$，
$3（2\sqrt{a_1}+1）=（{a_1}+4\sqrt{a_1}+4）$，
∴${a_1}-2\sqrt{a{\;}_1}+1=0$，
∴a₁=1，
∴$\sqrt{S_n}=n$，${S_n}={n^2}$
a_n=2n-1（n∈N^*），
$\frac{{{b_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}•\frac{b_n}{n}$，
∵${b_1}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b_n}{n}={（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${b_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$，
{b_n}的通項公式及前n項和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
（2）令$f（n）=\frac{{（{S_n}+\sqrt{S_n}）（2-\sqrt{n}）}}{n+2}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，
$f（n+1）-f（n）=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}=-\frac{（n-2）（n+1）}{{{2^{n+1}}}}$，
∴n≥3時  f（n+1）-f（n）＜0，
當(dāng)n＜2時  f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
∴$f{（n）_{max}}=f（2）=f（3）=\frac{3}{2}$，
∴$λ≥\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查等差和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，“錯位相減法”求前n項和公式，考查不等成立，屬于中檔題．