Question

17．如圖，點A，B在函數(shù)y=log₂x+2的圖象上，點C在函數(shù)y=log₂x的圖象上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，n），則m=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，由線段BC∥y軸，△ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關(guān)系，求出m、n的值，計算出結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)B（x₀，2+log₂x₀），A（m，n），C（x₀，log₂x₀），
∵線段BC∥y軸，△ABC是等邊三角形，
∴BC=2，2+log₂m=n，
∴m=2^n-2，∴4m=2ⁿ；
又x₀-m=$\sqrt{3}$，
∴m=x₀-$\sqrt{3}$，
∴x₀=m+$\sqrt{3}$；
又2+log₂x₀-n=1，
∴l(xiāng)og₂x₀=n-1，x₀=2^n-1；
∴m+$\sqrt{3}$=2^n-1；2m+2$\sqrt{3}$=2ⁿ=4m，
∴m=$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算問題，屬于中檔題．