Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點；
（Ⅱ）△ABC中，若A=$\frac{π}{3}$，B是△ABC中的最大內角，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角的正弦，余弦公式，以及兩角差的正弦公式，運用特殊角的函數(shù)值，即可得到所求零點；
（Ⅱ）由題意可得$\frac{π}{3}$≤B＜π，運用正弦函數(shù)的圖象和性質，可得f（B）的最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），
可得函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1+cosx}{2}$
=sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
由f（x）=0，可得sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即為x=2kπ+$\frac{π}{3}$或2kπ+π，k∈Z，
由x∈[0，π]，可得f（x）的零點為$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）A=$\frac{π}{3}$，B是△ABC中的最大內角，
即為B≥$\frac{π}{3}$，B≥π-$\frac{π}{3}$-B，解得$\frac{π}{3}$≤B＜π，
則f（B）=sin（B-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
由$\frac{π}{6}$≤B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得$\frac{1}{2}$≤sin（B-$\frac{π}{6}$）≤1，
即為0≤f（B）≤$\frac{1}{2}$，
則f（B）的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，以及二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．