Question

12．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，1+$\frac{{tan{A}}}{{tan{B}}}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$．
（1）求A的大��；
（2）若△ABC為銳角三角形，求函數(shù)y=2sin²B-2sinBcosC的取值范圍；
（3）現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件：①a=1；②$2c-（{\sqrt{3}+1}）b=0$；③B=45°，試從中再選擇兩個(gè)條件以確定△ABC，求出所確定的△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切化弦、兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡已知的式子，由特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理表示出C，代入解析式利用二倍角公式，兩角和與差和公式化簡，根據(jù)銳角三角形列出不等式組求出B的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（3）方案一：選擇①②，由條件和余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面積公式求解即可；
方案二：選擇①③，由內(nèi)角和定理和正弦定理分別求出C、c，入三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）由題意得，$1+\frac{{tan{A}}}{{tan{B}}}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$，
由正弦定理得，$1+\frac{{sin{A}cos{B}}}{{cos{A}sin{B}}}=\frac{{sin（{{A}+{B}}）}}{{cos{A}sin{B}}}=\frac{2sinC}{{\sqrt{3}sin{B}}}$，
因?yàn)?{A}+{B}+C=\pi$，則sin（ A+B）=sinC，
所以$\frac{sinC}{{cos{A}sin{B}}}=\frac{2sinC}{{\sqrt{3}sin{B}}}$，得$cos{A}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又0＜A＜π，則A=$\frac{π}{6}$  …3分；
（2）因?yàn)?{A}+{B}+C=\pi$，${A}=\frac{π}{6}$，所以${B}+C=\frac{5π}{6}$，
則$y=2si{n}^{2}B-2sinBcosC=1-cos2B-2sinBcos（\frac{5π}{6}-B）$
=$1-cos2B-2sinB（-\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$
=$1-cos2B+\sqrt{3}sinBcosB-si{n}^{2}B$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B+\frac{1}{2}$=$sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
又△ABC為銳角三角形，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$sin（2B-\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$，
所以$y=sin（{2{B}-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}∈（{1，\frac{3}{2}}）$ …7分；
（3）方案一：選擇①②，可確定△A BC，
因?yàn)?A=30°，a=1，$2c-（{\sqrt{3}+1}）b=0$，
由余弦定理得：${1^2}={b^2}+{（{\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}b}）^2}-2b•\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}b•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
整理得：b²=2，$b=\sqrt{2}$，$c=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$，
所以${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}bcsin{A}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$
方案二：選擇①③，可確定△A BC，
因?yàn)?A=30°，B=45°，則C=105°，
又$sin{105°}=sin（{{{45}°}+{{60}°}}）=sin{45°}cos{60°}+cos{45°}sin{60°}=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
由正弦定理$c=\frac{asinC}{{sin{A}}}=\frac{{1•sin{{105}°}}}{{sin{{30}°}}}=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$  …10分
所以${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}acsin{B}=\frac{1}{2}•1•\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$  …12分

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，兩角和與差的公式、二倍角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，注意銳角角的范圍，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．