Question

若函數(shù)f（x）和g（x）滿足：①在區(qū)間[a，b]上均有定義；②函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上具有關(guān)系G．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=3-x，試判斷f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有關(guān)系G，并說明理由；
（2）若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有關(guān)系G，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷它們具有關(guān)系G，再令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，當(dāng)m≤0時，易知h（x）在[1，4]上不存在零點(diǎn)，當(dāng)m＞0時，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；再分段討論函數(shù)的零點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）它們具有關(guān)系G：
令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，
∵h(yuǎn)（1）=-2＜0，h（4）=lg4+1＞0；
故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上連續(xù)，
故函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點(diǎn)，
故f（x）和g（x）在[1，4]上具有關(guān)系G．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，
當(dāng)m≤0時，易知h（x）在[1，4]上不存在零點(diǎn)，
當(dāng)m＞0時，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；
當(dāng)1≤x≤2時，
由二次函數(shù)知h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
故

-m+3≥0 -4m+1≤0

；
故m∈[

1

4

，3]；
當(dāng)m∈（0，

1

4

）∪（3，+∞）時，
若m∈（0，

1

4

），則h（x）在（2，4]上單調(diào)遞增，
而h（2）＞0，h（4）＞0；
故沒有零點(diǎn)；
若m∈（3，+∞），則h（x）在（2，4]上單調(diào)遞減，
此時，h（2）=-4m+1＜0；
故沒有零點(diǎn)；
綜上所述，
若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有關(guān)系G，
則m∈[

1

4

，3]．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力與分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．