Question

19．下列函數(shù)中，對于任意x∈R，同時滿足條件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$的函數(shù)是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=cosx
• C． f（x）=sinxcosx
• D． f（x）=cos²x-sin²x

Answer 1

分析 根據(jù)題意，要求函數(shù)滿足條件，則該函數(shù)必須是奇函數(shù)且周期為π，據(jù)此由三角函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項四個函數(shù)的奇偶性與周期性即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，要求函數(shù)滿足條件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$則該函數(shù)必須是奇函數(shù)且周期為π，
據(jù)此依次分析選項可得：
對于A、f（x）=sinx是奇函數(shù)且周期為2π，不符合題意；
對于B、f（x）=cosx是偶函數(shù)且周期為2π，不符合題意；
對于C、f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x是奇函數(shù)且周期為π，符合題意；
對于D、f（x）=ccos²x-sin²x=cos2x是偶函數(shù)且周期為π，不符合題意；
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分析出函數(shù)的周期與奇偶性．