Question

7．如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°
（1）求證：平面PCBM⊥平面ABC；
（2）求三棱錐B-MAC的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明PC⊥平面ABC得出平面PCBM⊥平面ABC；
（1）取BC的中點為O，連接MO，則可證OM⊥平面ABC，∠AMO=60°，從而求得OM的長，代入棱錐的體積公式V_B-CMA=V_M-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OM$計算即可．

解答 證明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC∩平面ABC，又PC?平面PCBM，
∴平面PCBM⊥平面ABC．
（2）取BC的中點為O，連接MO．
∵PM∥BC，又PM=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形PMOC為平行四邊形，
∴PC∥MO，
∵PC⊥平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，∠AMO為AM與PC所成的角．即∠AMO=60°，
∵AC=CO=1，∠ACO=120°，
∴AO=$\sqrt{3}$，∴OM=1，
∴V_B-CMA=V_M-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定定理，棱錐的體積計算，屬于中檔題．