Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x+1}$．
（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，+∞）時，求證：f（x）＞$\frac{x-1}{lnx}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1）的值，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）設(shè)$F（x）={e^x}-\frac{e}{4}{（x+1）^2}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x的范圍證明即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$f（x）=\frac{e^x}{x+1}⇒f'（x）=\frac{{x{e^x}}}{{{{（x+1）}^2}}}$．…（2分）$⇒f'（1）=\frac{e}{4}$，…（3分）
則$f（x）=\frac{e^x}{x+1}$在點$（1，\frac{e}{2}）$處的切線方程為：$y=\frac{e}{4}（x+1）$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)$F（x）={e^x}-\frac{e}{4}{（x+1）^2}$，則$F'（x）={e^x}-\frac{e}{2}（x+1）⇒F''（x）={e^x}-\frac{e}{2}$，…（5分）
x∈（1，+∞）⇒F''（x）＞0⇒F'（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；…（6分）
又因$F'（1）=e-\frac{e}{2}（1+1）=0$，$x∈（1，+∞）⇒F'（x）={e^x}-\frac{e}{2}（x+1）＞0⇒F（x）$在（1，+∞）上為增函數(shù)；…（7分）
$⇒F（x）≥F（1）=0⇒F（x）≥0⇒\frac{e^x}{x+1}≥\frac{e}{4}（x+1）$在（1，+∞）都成立．…（8分）
設(shè)$G（x）=lnx-\frac{4（x-1）}{e（x+1）}⇒G'（x）=\frac{1}{x}-\frac{8}{{e{{（x+1）}^2}}}=\frac{{e{x^2}+（2e-8）x+e}}{{ex{{（x+1）}^2}}}$，
由于△=32（2-e）＜0，…（9分）
則$G'（x）=\frac{{e{x^2}+（2e-8）x+e}}{{ex{{（x+1）}^2}}}＞0⇒G（x）=lnx-\frac{4（x-1）}{e（x+1）}$在（1，+∞）上為增函數(shù)，
又G（1）=0，…（10分）
若x＞1時，則$G（x）＞0?lnx-\frac{4（x-1）}{e（x+1）}＞0?\frac{4（x+1）}{4}＞\frac{x-1}{lnx}$．…（11分）
綜上：$\frac{e^x}{x+1}≥\frac{e}{4}（x+1）＞\frac{x-1}{lnx}⇒{e^x}＞\frac{{{x^2}-1}}{lnx}$．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．