Question

5．已知點M在曲線y=ln（x-1）上，點N在曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）上，點P在直線y=x上，則|PM|+|PN|的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出曲線y=ln（x-1）與曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）的交點為（2，0），兩曲線在（2，0）處有相同的切線，利用（2，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，可得|PM|+|PN|的最小值．

解答 解：由題意，曲線y=ln（x-1）與曲線y=$\frac{x-2}{x-1}$（x＞1）的交點為（2，0）．
∵y=ln（x-1），∴y′=$\frac{1}{x-1}$，x=2時，y′=1；
∵y=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$，∴y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，x=2時，y′=1，
∴兩曲線在（2，0）處有相同的切線，
∵（2，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，
∴|PM|+|PN|的最小值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．