Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性 并求出f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（2）=3，求出a的值，結(jié)合切線方程求出b的值，從而求出f（x）的表達式即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，
由導數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8，
由切點P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
所以函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=x-\frac{8}{x}+9$…（6分）．
（Ⅱ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$．
當a≤0時，顯然f'（x）＞0（x≠0），
這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)，
當a＞0時，令f'（x）=0，解得$x=±\sqrt{a}$，…（10分）．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（-∞，-\sqrt{a}）$	$-\sqrt{a}$	$（-\sqrt{a}，0）$	$（0，\sqrt{a}）$	$\sqrt{a}$	$（\sqrt{a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在$（-∞，-\sqrt{a}）$，$（\sqrt{a}，+∞）$內(nèi)是增函數(shù)，
在$（-\sqrt{a}，0）$，（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．        …（12分）
極大值為$f（\sqrt{a}）=2\sqrt{a}+b$，極小值為$f（-\sqrt{a}）=-2\sqrt{a}+b$…（15分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．