Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，再和兩種情況討論可得；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，令，，則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明其單調(diào)性及最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且

當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，

令，，則，

當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得，所以；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則

令，，恒成立，即函數(shù)，在上單調(diào)遞減，又故在上恒成立，即，故

當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符題意，舍去；

綜上可得