【題目】一些選手參加數(shù)學(xué)競賽,其中有些選手互相認(rèn)識,有些選手互相不認(rèn)識,而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人.若與認(rèn)識,但沒有共同的熟人,求證:、認(rèn)識的熟人一樣多.
【答案】見解析
【解析】
用點表示人,兩人互相認(rèn)識就在相應(yīng)兩點間連一條線段,依題意間有連線(如圖).
由于、沒有共同的熟人,故凡認(rèn)識的人就不認(rèn)識,凡認(rèn)識的人就不認(rèn)識.
現(xiàn)設(shè),,…,與認(rèn)識,,,…,與認(rèn)識,由于任一與不認(rèn)識,而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人,故與有且僅有一個共同的熟人.
反之,每一個與有且僅有一個共同的熟人.
亦即每一必與某一有連線,每一也必與某一有連線.
現(xiàn)設(shè)與認(rèn)識,與認(rèn)識,下面證明與不相同時,與也不相同.
若不然,與重合,則、與均有連線,從而互不認(rèn)識的,共同認(rèn)識3個人,,(如圖),與已知條件“恰有兩個共同的熟人”矛盾,可見,.
同理,,不相同時,其對應(yīng)的,也不相同,又得.
從而.這表明、認(rèn)識的熟人一樣多.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(附:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),若存在,使得不等式成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點.
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì),某校高一、高二兩個年級共名學(xué)生同時參與了“我運動,我健康,我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學(xué)生的運動狀況,采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取名和名學(xué)生進(jìn)行測試.下表是高二年級的名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)(單位:個/分鐘):
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
跳繩個數(shù) | 179 | 181 | 168 | 177 | 183 |
踢毽個數(shù) | 85 | 78 | 79 | 72 | 80 |
(1)求高一、高二兩個年級各有多少人?
(2)設(shè)某學(xué)生跳繩個/分鐘,踢毽個/分鐘.當(dāng),且時,稱該學(xué)生為“運動達(dá)人”.
①從高二年級的學(xué)生中任選一人,試估計該學(xué)生為“運動達(dá)人”的概率;
②從高二年級抽出的上述名學(xué)生中,隨機(jī)抽取人,求抽取的名學(xué)生中為“span>運動達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇:
方案一:每戶每月收管理費2元,月用電不超過30度,每度0.4元,超過30度時,超過部分按每度0.5元.
方案二:不收管理費,每度0.48元.
(1)求方案一收費元與用電量(度)間的函數(shù)關(guān)系;
(2)小李家九月份按方案一交費34元,問小李家該月用電多少度?
(3)小李家月用電量在什么范圍時,選擇方案一比選擇方案二更好?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量, ,設(shè)函數(shù),且的圖象過點和點.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)將的圖象向左平移()個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點到點的距離的最小值為1,求的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】進(jìn)入冬天,大氣流動性變差,容易形成霧握天氣,從而影響空氣質(zhì)量.某城市環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質(zhì)量的相關(guān)性,以確定是否對車輛實施限行.為此,環(huán)保部門采集到該城市過去一周內(nèi)某時段車流量與空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表:
(1)根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程。
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.請根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù),判定所得的線性回歸方程是否可靠?
注:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓W:的焦距與橢圓Ω:+y2=1的短軸長相等,且W與Ω的長軸長相等,這兩個橢圓的在第一象限的交點為A,直線l經(jīng)過Ω在y軸正半軸上的頂點B且與直線OA(O為坐標(biāo)原點)垂直,l與Ω的另一個交點為C,l與W交于M,N兩點.
(1)求W的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)求.
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