Question

【題目】一些選手參加數(shù)學(xué)競賽，其中有些選手互相認(rèn)識，有些選手互相不認(rèn)識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人．若與認(rèn)識，但沒有共同的熟人，求證：、認(rèn)識的熟人一樣多．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用點表示人，兩人互相認(rèn)識就在相應(yīng)兩點間連一條線段，依題意間有連線（如圖）．

由于、沒有共同的熟人，故凡認(rèn)識的人就不認(rèn)識，凡認(rèn)識的人就不認(rèn)識．

現(xiàn)設(shè)，，…，與認(rèn)識，，，…，與認(rèn)識，由于任一與不認(rèn)識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人，故與有且僅有一個共同的熟人．

反之，每一個與有且僅有一個共同的熟人．

亦即每一必與某一有連線，每一也必與某一有連線．

現(xiàn)設(shè)與認(rèn)識，與認(rèn)識，下面證明與不相同時，與也不相同．

若不然，與重合，則、與均有連線，從而互不認(rèn)識的，共同認(rèn)識3個人，，（如圖），與已知條件“恰有兩個共同的熟人”矛盾，可見，．

同理，，不相同時，其對應(yīng)的，也不相同，又得．

從而．這表明、認(rèn)識的熟人一樣多．