Question

若f（x）=（a+log₂x）log₂8x，其中x＞0，a為常數(shù)．
（1）當a=1時，求f（sin

π

6

）的值；
（2）當x∈[

1

4

，2]時函數(shù)最大值為0，此時a的值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：先化簡f（x）=（a+log₂x）log₂8x=（a+log₂x）（3+log₂x）；
（1）當a=1時，f（x）=（1+log₂x）（3+log₂x）；代入sin

π

6

即可；
（2）f（x）=（a+log₂x）（3+log₂x）=（log₂x）²+（a+3）log₂x+3a；再由x∈[

1

4

，2]知log₂x∈[-2，1]；討論最值點即可．

解答： 解：f（x）=（a+log₂x）log₂8x
=（a+log₂x）（3+log₂x）；
（1）當a=1時，f（x）=（1+log₂x）（3+log₂x）；
故f（sin

π

6

）=f（

1

2

）=（1+log₂

1

2

）（3+log₂

1

2

）
=0；
（2）f（x）=（a+log₂x）（3+log₂x）
=（log₂x）²+（a+3）log₂x+3a；
∵x∈[

1

4

，2]，
∴l(xiāng)og₂x∈[-2，1]；
故a+log₂x≤0恒成立；
故a≤-1；
若（a+1）（3+1）=0；
則a=-1時，f（x）=（log₂x）²+2log₂x-3的最大值為0，故成立；
若（a-2）（3-2）=0，則a=2；
f（x）=（log₂x）²+5log₂x-3的最大值為3，故不成立；
故a=-1．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的最值的應用，屬于中檔題．