Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=-1代入f（x），由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值，得值域；（2）f（x）圖象開口向上，對稱軸為x=-a，x∈[-5，5]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，按照對稱軸在區(qū)間的左中右分類討論即可求最小值．

解答： 解：f（x）=x²+2ax+2，圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x^2_-2x+2，對稱軸為x=1，則函數(shù)在[-5，1]上單調(diào)遞減，在[1，5]上單調(diào)遞增，
x=1時取得最小值f（1）=1，x=-5時取得最大值f（-5）=37，
故函數(shù)y=f（x）的值域為[1，37]；
（2）f（x）=x²+2ax+2，圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
又x∈[-5，5]，
①當(dāng)a≤-5時，對稱軸x=-a≥5，在區(qū)間右側(cè)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最小值為f（5）=27+10a，
②當(dāng)-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時，f（x）在[-5，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，5]上單調(diào)遞增，
則f（x）的最小值為f（-a）=2-a²，
③當(dāng)a≥5時，對稱軸x=-a≤-5，在區(qū)間左側(cè)，f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，
f（x）的最小值為f（-5）=27-10a，

點評：本題考查二次函數(shù)的最值與值域，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論求解，注意數(shù)形結(jié)合，分類討論的數(shù)學(xué)思想．