Question

13．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知a，b，c成等比數(shù)列．若 $\frac{sinA}{sinC}$-1=$\frac{a-b}{a+c}$，判斷△ABC的形狀（說(shuō)明理由）

Answer 1

分析 使用正弦定理將角化邊，根據(jù)ac=b²，利用余弦定理計(jì)算A，分情況討論公比q與1的大小關(guān)系，得出結(jié)論．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{sinA}{sinC}$-1=$\frac{a-b}{a+c}$，∴$\frac{a}{c}$=1+$\frac{a-b}{a+c}$=$\frac{2a+c-b}{a+c}$，
∴a²+ac=2ac+c²-bc，即ac+c²-a²=bc．
∵a，b，c成等比數(shù)列，∴ac=b²，
∴b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
設(shè)a，b，c組成的等比數(shù)列的公比為q，
（1）若q＞1，則a＜b＜c，∴$\frac{π}{3}＜B＜C$，
∴A+B+C＞π，矛盾．
（2）若q＜1，則a＞b＞c，∴$\frac{π}{3}＞B＞C$，
∴A+B+C＜π，矛盾．
（3）若q=1，則a=b=c，∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，符合題意．
∴三角形為等邊三角形，
綜上，△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于中檔題．