Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊滿足a＜b＜c，a²-c²=b²-$\frac{8ac}{5}$，a=3，△ABC的面積為6．
（1）求角A的正弦值；
（2）求邊b，c；
（2）設(shè)D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)D到邊BC、AC的距離分別為x，y，求|2x-y|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosA的值，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可解得sinA的值．
（2）利用三角形面積公式可求得bc=20，由已知及余弦定理可得b²+c²=41，結(jié)合b＜c即可得解b，c的值．
（3）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊CA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{3x+4y≤12}{x≥0}}\\{y≥0}\end{array}\right.$，設(shè)點(diǎn)D到直線2x-y=0的距離為d，則|2x-y|=$\sqrt{5}$d，從而可求|2x-y|的范圍．

解答 （本題滿分為16分）
解：（1）由a²-c²=b²-$\frac{8ac}{5}$，得：$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，即cosA=$\frac{4}{5}$．-----------------------（2分）
∵A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{3}{5}$．-------------------------（4分）
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$•\frac{3}{5}$=6，
∴bc=20，①
由$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$及bc=20、a=3，得b²+c²=41，②
由①、②及b＜c解得b=4，c=5．-------------------------------------（9分）
（3）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊CA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
則x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{3x+4y≤12}{x≥0}}\\{y≥0}\end{array}\right.$----------------------------（12分）
畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域（如圖所示的陰影部分）．
設(shè)點(diǎn)D到直線2x-y=0的距離為d，則|2x-y|=$\sqrt{5}$d．
解得|2x-y|∈[0，6）．--------------------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．