Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實數(shù)，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，對x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）|f（$\frac{π}{6}$）|為f（x）的最大值1，解出φ，根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）＞f（π）判斷φ的取值，得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調性得出不等式，解出單調減區(qū)間，與[0，π]取交集即可．

解答 解：（1）若$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$對x∈R恒成立，則$|f（\frac{π}{6}）|=|sin（\frac{π}{3}+φ）|=1$，
所以$\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，$φ=kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z，
由$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，可知sin（π+φ）＞sin（2π+φ），即sinφ＜0，
所以$φ=2kπ+\frac{7π}{6}$，k∈Z，代入得$f（x）=sin（2x+\frac{7π}{6}）$．
（2）由（1）知$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z
記A=[0，π]，$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z\}$，
易得$A∩B=[0，\frac{π}{6}]∪[\frac{2π}{3}，π]$，
所以函數(shù)在[0，π]上的減區(qū)間為$[0，\frac{π}{6}]$，$[\frac{2π}{3}，π]$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的單調性，函數(shù)解析式的求解，屬于中檔題．