Question

15．函數(shù)f（x）=2x³-6x+k，x∈R．
（1）當k=5時，求函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（2）若函數(shù)f（x）=2x³-6x+k在R上只有一個零點，求常數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出函數(shù)在（2，-6）處的導數(shù)即斜率，易求切線方程．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，判斷單調(diào)性，通過極值的符號，結(jié)合函數(shù)的零點，求解即可．

解答 解（1）∵f（x）=2x³-6x+5，f′（x）=6x²-6，
∴f（x）在點點（2，f（2））即（2，9）處的切線的斜率為k=f′（2）=18．
∴切線的方程為y-9=18（x-2）即y=18x-27
（2）f（x）=2x³-6x+k，則f′（x）=6x²-6，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，
可知f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數(shù)．
f（x）的極大值為f（-1）=4+k，f（x）的極小值為f（1）=-4+k．
要使函數(shù)f（x）只有一個零點，只需4+k＜0或-4+k＞0（如圖所示）

即k＜-4或k＞4．∴k的取值范圍是（-∞，-4）∪（4，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點的判斷，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，屬于中檔題．