Question

10．某校開設(shè)A、B、C、D、E五門選修課，要求每位同學(xué)彼此獨(dú)立地從中選修3門課程．某甲同學(xué)必選A課程，不選B課程，另從其余課程中隨機(jī)任選兩門課程．乙、丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機(jī)任選三門課程．
（1）求甲同學(xué)選中C課程且乙、丙同學(xué)未選C課程的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙選中C課程的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)甲同學(xué)選中C課程為事件A，乙同學(xué)選中C課程為事件B，丙同學(xué)選中C課程為事件C，甲同學(xué)選中C課程且乙、丙同學(xué)未選C課程為事件D，由P（D）=P（A）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$），能求出甲同學(xué)選中C課程且乙、丙同學(xué)未選C課程的概率．
（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）設(shè)甲同學(xué)選中C課程為事件A，乙同學(xué)選中C課程為事件B，丙同學(xué)選中C課程為事件C，
甲同學(xué)選中C課程且乙、丙同學(xué)未選C課程為事件D，
由P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$，P（$\overline{C}$）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$，
由題意知每位同學(xué)選課彼此獨(dú)立，
∴甲同學(xué)選中C課程且乙、丙同學(xué)未選C課程的概率：
P（D）=P（A）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{8}{75}$．
（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{20}{75}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{33}{75}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{75}$．
則X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{11}{25}$	$\frac{6}{25}$

∴數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{4}{75}+1×\frac{4}{15}+2×\frac{11}{25}+3×\frac{6}{25}$=$\frac{28}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．