Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²，數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都有b_n=|a_n|，則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀=50．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得{a_n}是由一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列，{a_n}的各項(xiàng)取絕對(duì)值后得到一個(gè)新數(shù)列{b_n}，求出它的前10項(xiàng)和即可，應(yīng)轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{a_n}的和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=10n-n²，
∴S_n-1=10（n-1）-（n-1）²，（n≥2）
兩式相減得a_n=11-2n，
又n=1時(shí)，a₁=S₁=10-1=9，滿足上式；
∴a_n=11-2n，
∴b_n=|a_n|=|11-2n|；
顯然n≤5時(shí)，b_n=a_n=11-2n，T_n=10n-n²；
n≥6時(shí)，b_n=-a_n=2n-11，
∴T_n=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）=2S₅-S_n=50-10n+n²
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n{-n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$
∴數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為：T₁₀=10²-10×10+50=50．
故答案為：50．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法的運(yùn)用問題，也考查了分析問題與解答問題的能力，是中檔題目．